「巻きでお願いします」ってどういう意味でしょうか？

イベントの進行を急いで進めて下さいという意味です。

時間が押しているときなどで、終了時間がホールの借りている時間や出演者によって時間にリミットがある場合などは、ある程度時間調整可能なプログラムのところで「20分出番のところ15分に巻いてください」など言ったりします。

「巻く」というのは進行を急ぐ行為自体を指して言われるのに対して、「押す」は時間伸びてしまっている事実を指します。

なので5分押しているので、少し巻いてください、といった具合です。

5分巻いているので、次の休憩長めに入れます、などは本来は誤った使用方法です。

押すの正しい反対語としては「盗む」と言います。しかし、押すや巻くは一般に知れ渡る程浸透しているので、上記の様に押すの反対語に巻くを使うのもかなり普通となってきました。